\subsection{切线的判定和性质}\label{subsec:czjh2-7-8}

如图 \ref{fig:czjh2-7-33}，在 $\yuan\,O$ 中，经过半径 $OA$ 的外端点 $A$，作直线 $l \perp OA$，
则圆心 $O$ 与直线 $l$ 的距离就是半径 $r$。由上一节我们知道，这样的直线与圆一定相切。
因此有下面定理：

\begin{dingli}[切线的判定定理]
    经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
\end{dingli}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-33}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-33}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-34}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-34}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 已知：直线 $AB$ 经过 $\yuan\,O$ 上的点 $C$， 并且 $OA = OB$，$CA = CB$（图 \ref{fig:czjh2-7-34}）。

求证： 直线 $AB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。

\zhengming 连结 $OC$。

$\because$ \quad $OA = OB$， $CA = CB$，

$\therefore$ \quad $OC$ 是等腰三角形 $OAB$ 底边 $AB$ 上的中线。

$\therefore$ \quad $AB \perp OC$。

因此，直线 $AB$ 经过半径 $OC$ 的外端 $C$，并且垂直于半径 $OC$， 所以 $AB$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。


\begin{dingli}[切线的性质定理]
    圆的切线垂直于经过切点的半径。
\end{dingli}


已知： 如图 \ref{fig:czjh2-7-35}，直线 $AT$ 是 $\yuan\,O$ 的切线， $A$ 为切点。

求证： $AT \perp OA$。

\zhengming 假设 $AT$ 与 $0A$ 不垂直。

经过圆心且垂直于切线的直线必经过

过圆心 $O$ 作 $OM \perp AT$， 交 $AT$ 于点 $M$。由垂线段最短，得 $OM < OA$。

因为圆心到直线 $AT$ 的距离小于半径，所以 $AT$ 与 $\yuan\,O$ 相交。 这与已知相矛盾。

$\therefore$ \quad $AT \perp OA$。


由于过已知点只有一条直线与已知直线垂直， 所以经过圆心垂直于切线的直线一定过切点；
反过来，过切点垂直于切线的直线也一定经过圆心。 由此得到：

\begin{tuilun}[推论1]
    经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
\end{tuilun}

\begin{tuilun}[推论2]
    经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
\end{tuilun}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-35}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-35}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-36}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-36}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti 已知： $AB$ 是 $\yuan\,O$ 的直径， $BC$ 是 $\yuan\,O$ 的切线，切点为 $B$，
$OC$ 平行于弦 $AD$ （图 \ref{fig:czjh2-7-36}）。

求证： $DC$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。

\zhengming 连结 $OD$。

$\left.\begin{aligned}
    OA = OD          \tuichu  \angle 1 = \angle 2 \\
    AD \pingxing OC  \tuichu  \left\{\begin{aligned}
        \angle 1 = \angle 3 \\
        \angle 2 = \angle 4
    \end{aligned}\right\}
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \angle 3 = \angle 4 \juhao$

$\left.\begin{aligned}
    OB = OD \\
    \angle 3 = \angle 4 \\
    OC = OC
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \triangle OBC \quandeng \triangle ODC  \tuichu  \angle OBC = \angle ODC \juhao$


$\because$ \quad $BC$ 是 $\yuan\,O$ 的切线，

$\therefore$ \quad $\angle OBC = 90^\circ$。

$\therefore$ \quad $\angle ODC = 90^\circ$。

$\therefore$ \quad $DC$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。



\begin{lianxi}

\xiaoti{如图， $AB$ 是 $\yuan\,O$ 的直径， $\angle ABT = 45^\circ$， $AT = AB$。
    求证： $AT$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.8cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec8-lx-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{5.2cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec8-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-subsec8-lx-04}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

\xiaoti{$AB$ 是 $\yuan\,O$ 的直径，点 $D$ 在 $AB$ 的延长线上， $BD = OB$，点 $C$ 在圆上，
    $\angle CAB = 30^\circ$。 求证： $DC$ 是 $\yuan\,O$ 的切线。
}

\xiaoti{求证：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xxt{经过圆的直径两端点的切线互相平行；}

    \xxt{圆的两条切线互相平行，则连结两个切点的线段是直径。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知： $OC$ 平分 $\angle AOB$， $D$ 是 $OC$ 上任意一点，
    $\yuan\,D$ 与 $OA$ 相切于点 $E$。 求证： $OB$ 与 $\yuan\,D$ 相切。
}

\end{lianxi}
